Précisons en premier lieu que nous ne parlons que des fonctions dérivées d'une fonction d'une variable réelle à valeurs dans R. On supposera aussi que les fonctions sont dérivables sur l'intervalle qui nous intéresse.

Pour la pluspart des élèves, la dérivée sert à calculer, dans le meilleur des cas, le minimum ou le maximum d'une fonction. Mais la dérivée ce n'est pas que ça ! Alors à quoi ça sert une dérivée. Qu'entendons-nous par "dérivée" ? Il est bon de rappeler que c'est une fonction : la fonction dérivée d'une autre fonction. Mais commençons par le début : le nombre dérivé.

Nombre dérivé.

Soit une fonction quelconque f, continue, c'est à dire dont la représentation graphique peut être tracée d'un seul coup de crayon. Si je prends deux points "assez" proches l'un de l'autre sur cette courbe, je peux me demander comment se comporte la fonction par l'intermediaire de sa représentation graphique, entre ces deux points.

Depuis la classe de troisième, nous avons appris que la fonction la plus simple, dans son tracé et dans son comportement (le comportement d'une fonction est sa manière de varier, de changer de sens et de vitesse de variation) est la fonction affine. Essayons maintenant d'approcher notre fonction f par une fonction affine g c'est à dire, pour sa représentation graphique, par une droite. Quoi de plus simple qu'une droite ?!

Observons l'animation ci-dessous.

Sur la courbe nous avons deux points A(x₀,y₀) et B(x,y), par ces deux points passe une droite. Cette droite représente une approximation de la courbe, localement entre ces deux points. Bien entendu, plus les points sont éloignés, plus l'approximation sera grossière. Mais si les points sont très rapprochés, alors on aura une approximation de plus en plus fine. Que se passera-t-il si les points se rapprochent de plus en plus près et, à la limite, si les deux points deviennent confondus ? On aura le comportement de la fonction en A ( très localement !!!) et la droite sera tangente à la courbe. A ce moment, quand le points B se rapproche très très très près du points A, la droite représente une fonction affine dont le coefficient directeur est la pente de la courbe en A. Cette fonction est donc la meilleure représentation affine de la fonction en ce point. C'est à dire que la courbe a, à cet endroit, la même pente que la droite (elles "penchent" toutes les deux de la même manière).

Calculons l'équation de la droite : si on pose x = x₀ + h, on a y₀ = f(x₀) et y = f(x₀ + h). Elle a pour coefficient directeur le nombre m qui dépend de l'endroit où se trouvent les points A et B. Son équation est f(x₀ + h) - f(x₀) = mh ou bien

f(x₀ + h) = mh + f(x₀).

Notre fonction peut être approchée par cette fonction affine à un petit chouilla, o(h), près qui dépend de h. Nous dirons :

S'il existe un réél m et une fonction o tels que :

f(x₀ + h) = mh + f(x₀) + ho(h) et que la limite de o(h) soit 0 si h tend vers 0, alors

f(x₀ + h) = mh + f(x₀) est la meilleure approximation affine de la fonction f(x₀ + h) en x₀

On dira aussi que :

Si f(x) admet une meilleure approximation affine quand x tend vers  x₀, alors elle est dérivable en x₀.

Cette définition de la dérivabilité n'est pas très efficace du point de vue des calculs pratiques mais elle a le mérite de bien insister sur le fondement de l'analyse à savoir l'approximation. Cette notion qui permet de s'approcher d'une valeur aussi près que l'on veut. D'autre théorèmes plus puissants nous aideront à déterminer si une fonction est dérivable ou pas.

Si f(x) admet une meilleure approximation affine en x₀, alors cette approximation s'écrit :

m(x₀ - x) + f(x₀)

On définit ainsi le nombre dérivé m que l'on note f '(x₀).

Comme m est le coefficient directeur de la droite tangente en A à la courbe, on pourrait dire, par abus de langage que m est le "coefficient directeur" de la courbe en A.

La aussi, ce n'est pas une définition bien efficace pour les calculs pratiques, pour calculer le nombre dérivé en un point d'une fonction, calculons le taux de variation d'une droite sécante à sa courbe et qui passe par x₀. Nous avons vu que l'équation de cette droite est :

f(x) - f(x₀) = m(x - x₀). Résolvons cette équation en m. On obtient :

 (1)

Qui est le taux d'accroissement de la fonction entre x et x₀ mais aussi le coefficient directeur de la sécante à la courbe. Si nous voulons le coefficient directeur de la tangente en A il faut amener B vers A ce qui revient à faire tendre x vers x0.

Le nombre m sera la limite, dans la mesure où elle existe c'est à dire si c'est un nombre réel, du rapport (1).

On pourra donc écrire que le nombre dérivé f ' (x₀) est la limite lorsque x tend vers x₀ du taux d'accroissement de la fonction.

(2)

ou, en reprenant les notations ci-dessus :

(3)

C'est cette expression qui va nous permettre de calculer les nombres dérivés des fonctions simples. Nous verrons qu'il existe d'autres théorèmes plus efficace pour calculer toutes les dérivées des fonctions rencontrées dans l'enseignement secondaire.

Comme exemple prenons quelque chose de simple : f : x |->x² , la fonction carrée et trouvons le nombre dérivé en x₀ = -2.

On a f(-2) = 4 et f(-2 + h) = (-2 + h)² = 4 - 4h + h² et f(-2 + h) -  f(-2) = 4 - 4h + h² - 4 = - 4h + h². Cherchons la limite du rapport (2) quand h tend vers 0.

La courbe en -2 "penche" de -4 en ce point exactement.

Fonction dérivée.

Si une fonction définie sur un intervale admet un nombre dérivé en chacun des points de l'intervale, alors ces nombres dérivés sont les images d'une fonction qu'on appelle fonction dérivée ou plus famillièrement dérivée de la fonction.

Voir animation ci-dessous.

On voit sur cette animation la fonction dérivée (pente de la tangente).

On remarque qu'à chaque fois que la tangente est horizontale, la dérivée s'annule.

Pour calculer la fonction dérivée d'une fonction on utilise la limite (3) en ne fixant pas x₀ et en laissant varier x dans l'intervale dans lequel on veut dériver la fonction

Exemple : on reprend notre fonction carrée.

f(x) = x² et f(x + h) = (x + h)² = x² + 2xh + h² et f(x + h) -  f(x) = x² + 2xh + h² - x² = 2xh + h²

On a :

La fonction carrée "a une pente" qui est égale à deux fois x pour chacun de ses points.

Attention ce calcul n'est vrai que si la fonction est dérivable !!! Ce qu'il faut ABSOLUMENT vérifier à chaque fois que l'on parle de fonction dérivable.

Dans l'animation ci-dessous, on peut voir différents cas de non-dérivabilité.

Calcul pratique des fonctions dérivées.

Dans la pratique, on ne se sert que très rarement du calcul de la limite du taux d’accroissement. Il suffit d’apprendre par coeur le tableau des dérivées des fonctions élémentaires du tableau ci-dessous.

Les théorèmes que nous allons voir sont des théorèmes puissants pour le calcul des dérivées, ils concernent la dérivation des somme, produit et quotient des fonctions élémentaires. Un autre théorème puissant est celui qui permet de calculer la fonction dérivée d’une fonction composée.

Mais d’abord, le tableau des dérivées élémentaires.

Théorèmes de dérivation des sommes, produits et quotients de fonctions.

Sommes et différences :

La fonction dérivée d’une somme de fonctions dérivables sur le même intervalle est la somme des fonctions dérivées.

(f + g)’ = f’ + g’

Il en est de même pour la différence de deux fonctions.

Produits :

Quotients :

Si f et g sont deux fonctions dérivables sur le même intervalle et si g ne s’annule pas sur cet intervalle, alors la dérivée de la fonction quotient est :

=  

 Voici quelques exemples d’utilisation de ces " formules ".

Addition :

Soit à dériver la fonction f(x) = x³ + ln x – 4sin x

D’après la quatrième ligne du tableau, la dérivée de x³ est 3x², d’après la dernière ligne, la dérivée de ln x est   ( pour x Î R ₊^*  ) ; enfin, d’après les lignes 3 et 6 du tableau, la dérivée de 4sin x est 4cos x.

Comme sinus et le cube sont dérivable sur R  et que ln x est dérivable sur R ₊^* , notre fonction est dérivable sur R  Ç  R ₊^* soit R ₊^*  et la dérivée est f’(x) = x³ +   – 4cos x.

Compris ?

Attention au domaine de dérivabilité et au domaine de définition de chaque terme de la somme !!!

Produit :

Nous allons dériver (dans la joie) la fonction f(x) = x²cos x. Posons u(x) = x² et v(x) = cos x. On a : f(x) = u(x). v(x) et u’(x) = 2x ainsi que v’(x) = – cos x . Les deux fonction u et v sont définies et dérivables sur R  , notre fonction est dérivable sur R , et sa dérivée est donnée par le théorème de la dérivées d’un produit.

f’(x) = 2x.sin x – x².cos x.

 Quotient :

On procède de même avec le quotient en vérifiant bien que la fonction dividende ne s’annule pas sur l’intervalle de dérivabilité.

Fonctions composées.

Hélas ! Certaines fonctions ne sont ni des sommes ni des produits ni des quotients. C’est le cas des fonctions composées par exemple f(x) = ln(x² + 1). C’est la fonction composée de ln sur la fonction x² + 1. C’est le cas aussi pour g(x) =  qui est la composée de racine sur la fonction ln, elle-même composée sur x² + 1.

Pour dériver de telles fonctions nous avons un théorème :

Théorème de dérivation des fonctions composées :

Si f est dérivable sur I et si g est dérivable sur J Ì  f(I), alors la dérivée de f(g(x)) est :

f’(g(x))g’(x).

Si on note la fonction composée fog, on a (fog)’ = (f’og) f’.

C’est un nouveau théorème qui nous permet de compléter notre tableau des dérivées.

u étant une fonction dérivable sur I

Fonction.	Dérivée.	Domaine de dérivabilité.
eu	u’ eu	I
ln½ u½		I – {0}