Léonardo montra qu'il ne pouvait s'agir de
nombres rationnels ou faisant appel à des racines carrées et donna une approximation de
la solution.
Parmi les autres ouvrages de Léonard de Pise, citons
"Practica geometriæ", un livre de géométrie et de trigonométrie publié en
1220 et "Liber kadratorum", un livre de problèmes numériques dans lequel il
propose une approximation intéressante de p : 864/275
Bien sûr, la célèbre suite qui porte son nom est un des
éléments essentiels de sa notoriété :
Un = Un -1 + Un - 2 , avec u0=1 et u1 = 1
Les termes de cette suite sont 1, 1, 2, 3, 5, 8 , 13, 21, 34,
55, 89, 144, 233, 377...
Cette suite est rencontrée dans un nombre considérable
d'éléments de la vie de tous les jours et dans des représentations ou concepts
mathématiques qui virent le jour ultérieurement.
On trouve ces termes dans le nombre de pétales observé en
moyenne dans certaines fleurs : les delphiniums ont 5 pétales, les célandines en ont 8,
les doubles delphiniums 13 , les asters 21 , les marguerites 34 , les marguerites de
Michael 55 ou 89 ...!
On la trouve, encore, en géométrie dans la mesure des cotés
des polygones réguliers, en génétique dans la formation des coquilles d'escargot ou de
coquillages marins liée à des spirales logarithmiques, en botanique dans
l’arrangement des graines de tournesol ou l’enroulement de certaines feuilles de
plantes sur leur tige, dans la théorie des nombres, dans le triangle de Pascal ; on
observe son utilisation dans les sculptures de Dürer ou dans la représentation du corps
humain par Léonard de Vinci et ce, par l’intermédiaire du nombre d’or
(F).
Ce nombre est tel que l'on
a (F +
1)/F
= F
Ce dernier est la racine
positive de l’équation
X^2 - X - 1 = 0
C'est également la limite vers laquelle converge le rapport
Un/Un+1 de deux termes consécutifs de la suite dont le nombre de propriétés en ont fait
une mine pour les analystes et les problémistes.
C’est ainsi que Sam Loyd, par un
savant découpage, a
vulgarisé une énigme géométrique dans laquelle un rectangle de 13 x 5 possède
apparemment le même nombre de carrés unitaires qu’un carré de 8 x 8 ; remarquons
que 5, 8 et 13 sont trois termes consécutifs de la suite de Fibonacci : pourriez-vous
alors essayer de généraliser la propriété utilisée ? Ce thème fait
l'objet de nombreux puzzles commercialisés, en particulier par Sarcone
Rappelons (sic !) enfin, que la suite de Fibonacci a participé
a la résolution du dixième problème de David Hilbert (1862-1943) relatif aux équations
diophantiennes.
Ludographie
supersuccinte de base :
H. STEINHAUS,
Mathématiques en instantanés, Flammarion, 1964.
M. GARDNER, The multiple fascination of the Fibonacci sequence, Scientific
American, n° 220, pp 116-120, mars 1969.
M. GARDNER, Problèmes et divertissements
mathématiques, Dunod 1965, Tome 2 chapitre 8
J. S. MADACHY et J. A. HUNTER, Mathematical
diversions, Van Nostrand, 1963.
E. NORTHROP, Fantaisies et paradoxes
mathématiques, Dunod, 1964.
W.W. BALL, Mathematical Recreations and
Essays, Macmillan,
1963.
Claude Jacques Willard : Le nombre d'or, Magnard, 1987 |
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